Die lineare Funktion - Funktionsterm und Funktionsgraph
Eine lineare Funktion besitzt die allgemeine Funktionsgleichung:
f(x)=mx+t
Dabei gilt für die Parameter m und t: m, t\in \mathbb{R} und m \neq 0.
Den Graph der linearen Funktion nennt man Gerade.
Man nennt:
t: y-Achsenabschnitt der Geraden
m: Steigung der Geraden
Steigung und y-Achsenabschnitt
Der y-Achsenabschnitt t gibt den Wert an, in welchem die Gerade (der Graph) die y-Achse schneidet.
Man kann auch sagen, dass die Gerade durch den Punkt S_y(0 \mid t) verläuft.
Die Steigung m liefert eine Aussage über den weiteren Verlauf der Geraden.
Für m>0 steigt und für m<0 fällt die Gerade. Für die Steigung m gilt: m=\frac{\Delta y}{\Delta x}
Beispiel 1:
Zeichen Sie die Gerade mit der Gleichung
f(x)=2x-3
in ein Koordinatensystem ein.
Lösung 1:
Um die Gerade in ein Koordinatensystem einzuzeichnen beginnt man mit den y-Achsensabschnitt t. In unserem Beispiel hat t den Wert t=-3.
Somit verläuft die Gerade durch den Punkt S_y(0 \mid -3). Diesen zeichnet man nun in ein Koordinatensystem ein.
Nun geht man vom Punkt S_y eine Einheit waagrecht nach rechts ….
… und m=2 Einheiten senkrecht nach oben (bei negativem Wert von m geht man nach unten!). Dort zeichnet man den zweiten Punkt P ein.
Verbindet man die beiden Punkte S_y und P erhält man die gesuchte Gerade.
Das oben eingezeichnete Dreieck nennt man Steigungsdreieck.
Bemerkung:
Statt einer Einheit nach rechts und m=2 Einheiten nach oben könnte man auch 2 Einheiten nach rechts und 2\cdot m=4 Einheiten nach oben gehen oder auch …
3 Einheiten nach rechts und 3\cdot m=6 einheiten nach oben gehen.
4 Einheiten nach rechts und 4\cdot m=8 Einheiten nach oben gehen.
usw.
Beispiel 2:
Gegeben ist der Graph einer linearen Funktion f. Bestimmen Sie mithilfe der Zeichnung die Funktionsgleichung.
Lösung 2
Man sucht sich zunächst den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
Dieser hat die Koordinaten S_y(0 \mid 2). Somit folgt für den y-Achsenabschnitt: t=2.
Um den Wert der Steigung m zu bestimmen benötigt man einen zweiten Punkt, der idealerweise durch einen (ganzzahligen) Gitterpunkt verläuft. Man wählt den Punkt P.
Nun geht man vom Punkt S_y aus \Delta x=4 Einheiten waagrecht in x-Richtung und …
… \Delta y=-1 senkrecht (nach unten) in y-Richtung.
Für die Steigung m folgt dann:
m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-1}{4}=-\frac{1}{4}
Insgesamt folgt für die Gleichung der Geraden:
f(x)=-\frac{1}{4}x+2