Musterprüfung - Teil ohne Hilfsmittel

1.

Betrachten Sie den linken und den rechten Term der Gleichung  jeweils als separaten Funktionsterm.
Zeigen sie, dass die beiden Funktionsterme für \(x>0\) identische Funktionsgraphen besitzen.
Dazu zeigen Sie zunächst, dass die beiden Funktionsgraphen identische „Form“ besitzen.
Zeigen Sie, dass die gegebene Gleichung für einen (frei gewählten) positiven x-Wert eine wahre Aussage liefert.

 

2.

Wenden Sie die partielle Integration an und wählen sie dabei \(u(x)=ln(x)\).
Das Ausgangsintegral taucht bei der partiellen Integration erneut auf. Lösen Sie daher die entstanden Gleichung nach dem gesuchten Integral auf.
ODER:
Führen Sie die Integration durch eine geeignete Substitution durch.
Wählen Sie \(t=ln(x)\) und ersetzen Sie das Differenzial dx.

 

3.

(i) Begründen Sie Ihre Aussage anhand des Verhaltens von \(F^\prime(x)\) für \(x\rightarrow\infty\).
(ii) Begründen Sie Ihre Aussage anhand des Verhaltens von \(F^\prime(x)\) für \(x\rightarrow -\infty\).
(iii) Ist der Graph einer Funktion F achsensymmetrisch zur y-Achse, so ist der Graph der Ableitungsfunktion ….
(iv) Hat der Graph einer Funktion an einer Stelle einen rel. Extrempunkt, so hat die Ableitung an dieser Stelle ….
(v) Überlegen Sie, was für die Steigung des Graphen einer Funktion \(f\) gelten muss, wenn der Graph der Ableitungsfunktion \(f^\prime\)einen relativen Hochpunkt besitzt.
(vi) Schließen Sie aus der Bedingung \(F^{\prime\prime}(x)>0\) auf das Monotonieverhalten des Graphen der Funktion \(f=F^\prime\).

 

4.1

Untersuchen Sie das Argument der ln-Funktion.

 

4.2

Bilden Sie \(g(0)\).
Lösen Sie die Gleichung \(g(x)=0\).

 

4.3

Bilden Sie die erste Ableitung unter Verwendung der Ableitungsregel für die ln-Funktion und der Kettenregel.
Untersuchen Sie das Vorzeichen der Funktion \(g^\prime\) mithilfe einer Vorzeichentabelle.

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Musterprüfung - Teil mit Hilfsmittel

1.1

Zeigen Sie, dass gilt \(f(-x)=-f(x)\):
Erweitern Sie hierzu ihren Funktionsterm mit \(\frac{e^x}{e^x}\).
Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte für \(x\rightarrow\infty\) 
Klammern Sie dabei sowohl im Zähler als auch im Nenner den Term \(e^x\) aus.

 

1.2

Bilden Sie die erste Ableitung mit Hilfe der Quotientenregel.
Zeigen Sie, dass die Ableitungsfunktion ihr Vorzeichen nicht ändert.
Lösen Sie die Gleichung \(y=f(x)\) nach \(x\) auf und geben Sie den Term der Umkehrfunktion an.
Bestimmen Sie die Wertemenge der Funktion \(f\).

 

1.3

Zeichnen Sie die Winkelhalbierende des 1. und 3. Quadranten ein und bestimmen Sie ihren Schnittpunkt mit dem Graphen der Funktion \(f\).
Zeichnen Sie die Tangente an den Graph der Funktion \(f\) im Schnittpunkt an.
Messen Sie den Schnittwinkel der beiden Geraden und folgern Sie daraus den Schnittwinkel entsprechend der Aufgabenstellung.

 

1.4

Die eingeschlossene Fläche kann durch das Integral aus „oberem Graph minus unterem Graph“ ermittelt werden.
Nach Anwenden der Substitution \(t=e^x+1\) muss eine Partialbruchzerlegung durchgeführt werden.

 

2.1

Zeigen sie, dass das Argument der ln-Funktion nur positive Werte annimmt.
Nutzen Sie für die Untersuchung auf Nullstellen die Beziehung \(ln(1)=0\) und argumentieren Sie mit der Diskriminante.

 

2.2

Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte für \(x\rightarrow 0\) und \(x\rightarrow\infty\).

 

2.3

Bilden Sie die Ableitungsfunktion mithilfe der Kettenregel und ermitteln Sie die Lösungen der Gleichung \(g^\prime(x)=0\).
Achten Sie auf die Definitionsmenge und untersuchen Sie das Vorzeichen von \(g^\prime\)  z. B. mit Hilfe einer Vorzeichentabelle.

 

3.1

Lösen Sie die Differenzialgleichung allgemein, d.h. ohne Einsetzen der Temperaturwerte, mithilfe der Methode „Trennung der Variablen“.

Nutzen Sie die Temperatur \(T_A\) der Leiche zum Zeitpunkt \(t=0\) des Eintreffens der Ermittler.

 

3.2

Berechnen Sie den Proportionalitätsfaktor mithilfe der angegebenen Temperaturen.

Verwenden Sie insbesondere die Temperatur \(T_B\) zum Zeitpunkt \(t=1\) der zweiten Messung.

Verwenden Sie den gegebenen Temperaturwert des Körpers zum Tötungszeitpunkt, um diesen Zeitpunkt zu berechnen.

1.1

Nutzen Sie die Anfangsbedingung \(x(0)=10\).

1.2

Entscheiden Sie, für welchen x-Wert die rechte Seite der Differentialgleichung einen maximalen Wert annimmt.
Bestimmen Sie dazu die Lage des Scheitelpunktes des zugehörigen quadratischen Terms.

1.3

Führen Sie eine Partialbruchzerlegung durch.

2.

Untersuchen Sie die Grenzwerte von \(f(x)\) für \(x\overset{<}{\rightarrow}0\) bzw. \(x\overset{>}{\rightarrow}0\) und vergleichen Sie mit dem Funktionswert \(f(0)\).
Bilden Sie die erste Ableitung für \(x<0\) bzw. \(x>0\) und untersuchen Sie den Grenzwert von \(f^\prime(x)\) für \(x\overset{<}{\rightarrow}0\) bzw. \(x\overset{>}{\rightarrow}0\).

3.

Ermitteln Sie zwei benachbarte Nullstellen der Funktion \(f\). Beschränken Sie sich auf Lösungen, für die \(x\geq 0\) gilt.
Bilden Sie ein Integral, um das Rotationsvolumen zu berechnen, und wenden Sie die partielle Integration an.

4.1

Untersuchen Sie den Grenzwert von \(g(x)\) für \(x\overset{>}{\rightarrow}0\) und für \(x\rightarrow\infty\).
Entscheiden Sie anhand der Grenzwerte, ob es waagrechte bzw. senkrechte Asymptoten gibt, und geben Sie deren Gleichungen an.

4.2

Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion \(g\) mithilfe der Quotientenregel.
Benutzen Sie bei der Lösung der Gleichung \(g^\prime(x)=0\) die Substitution \(z=ln(x)\).
Führen Sie eine Vorzeichenuntersuchung z. B. mithilfe einer Vorzeichentabelle durch.
Verwenden Sie dazu eine geeignete Faktorisierung der Ableitungsfunktion.

4.3

Nutzen Sie die Substitution \(t=ln(x)\) um den Wert des Integrals zu berechnen.
Schließen Sie mithilfe der Nullstellen der Funktion \(g\) auf die Lage der Fläche, deren Flächenwert durch das Integral berechnet wird.

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