2021 - Teil ohne Hilfsmittel

1.

Entscheiden Sie, welche Breite jedes der vier Rechtecke besitzt.

Die Rechtecke müssen den Graphen auf dem jeweiligen Streifen vollständig einschließen.

2.1

Benutzen Sie bei der Nullstellenbestimmung, dass der Graph der Arcustangens-Funktion durch den Koordinatenursprung verläuft.
Untersuchen Sie für die Bestimmung der Asymptotengleichung das Verhalten der Funktionswerte der Funktion \(f\) an den Rändern ihrer Definitionsmenge.

 

2.2

Bilden Sie die 1. Ableitung der Funktion \(f\) mit der Quotienten- und der Kettenregel.

Bestimmen Sie die Lösungen der Gleichung \(f^\prime(x)=0\).
Untersuchen Sie das Vorzeichenverhalten von \(f^\prime\),  z. B. mithilfe eine Vorzeichentabelle.

 

3.1

Fassen Sie zunächst den gegebenen Term zu einem einzigen Bruchterm zusammen.

Zeigen Sie dann, dass \(h(-x)=-h(x)\) gilt.

 

3.2

Fassen Sie die linke Seite der Gleichung zu einem einzigen Bruchterm zusammen.

Verwenden Sie bei der Bestimmung einer Stammfunktion die Beziehung: \(\int\frac{g^\prime(x)}{g(x)}dx=ln|g(x)|+C\)

 

3.3

Lösen Sie die Funktionsgleichung \(y=h(x)\) nach \(x\) auf.

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2021 - Teil mit Hilfsmittel

1.1

Das Argument der ln-Funktion muss positiv sein. Führen Sie also eine Vorzeichenuntersuchung durch.

Entscheiden Sie, ob die Gleichung \(f(x)=0\) Lösungen besitzt

 

1.3

Bilden Sie die 1. Ableitung der Funktion \(f\) mithilfe der Ketten- und Quotientenregel.
Lösen Sie die Gleichung \(f^\prime(x)=0\).
Untersuchen Sie das Vorzeichen der Funktion \(f^\prime\).

Berücksichtigen Ihre Ergebnisse aus Teilaufgabe 1.2, um die Wertemenge der Funktion \(f\) anzugeben.

 

2.1

Nutzen Sie den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.

Steigungen werden durch die 1. Ableitung und Krümmungen durch die 2. Ableitung beschrieben.

 

2.2

Entnehmen Sie der Zeichnung die Art des Vorzeichenwechsels bei \(P\).

Verwenden Sie die Substitution \(z=\frac{1}{4}x-1\).
Nutzen Sie auch Formeln aus der Merkhilfe.

 

3.1

Bilden Sie die 1. Ableitung der Funktion \(m_D(t)\) mithilfe der Kettenregel.
Setzen Sie \(m_D(t)\) und \(\dot{m}_D(t)\) in die Differentialgleichung ein.

Verwenden Sie die gegebene Bedingung um einen Wert für \(D\) zu bestimmen.

 

3.2

Begründen Sie innerhalb des Sachkontextes, warum die Änderungsrate \(\dot{m}_D(t)\) auf lange Zeit den Wert \(0\) annimmt.
Formen Sie die gegebene Differentialgleichung nach \(m(t)\) um, um damit das Grenzwertverhalten von  zu bestimmen.

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