2020 - Teil ohne Hilfsmittel

1.1

Berechnen Sie die Nullstelle der Funktion \(g\).
Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte für \(x\rightarrow\pm\infty\).

 

1.2

Bilden Sie die 1. Ableitung der Funktion \(g\) unter Verwendung der Ketten- und Quotientenregel.
Untersuchen Sie das Vorzeichen der Funktion \(g^\prime\) und schließen Sie daraus auf das Monotonieverhalten der Funktion \(g\).

 

2.1

Untersuchen Sie das Vorzeichen der Funktion \(f^\prime\).
Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte der Funktion \(f\) an den Rändern ihrer Definitionsmenge uns schließen Sie daraus auf die Definitionsmenge der Umkehrfunktion \(f^{-1}\).

 

2.2

Führen Sie eine Punktprobe durch.
Verwenden Sie die Umkehrregel.

 

2.3

Setzen Sie die Funktionsgleichungen von \(f\) und \(f^\prime\) in die Differenzialgleichung ein.

 

3.

Ermitteln Sie mit Hilfe partieller Integration eine Stammfunktion des Integranden.
Benutzen Sie bei der weiteren Umformung die Logarithmenregeln.

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2020 - Teil mit Hilfsmittel

1

Verwenden Sie die Formel \(V=\pi\cdot\int\limits_{y_1}^{y_2}x^2dy\)  für die Rotation um die y-Achse.
Lösen Sie die Funktionsgleichung von \(s\) nach \(x^2\) auf.

2.1

Bestimmen Sie die Asymptotengleichung, indem Sie das Verhalten der Funktionswerte an den Rändern der Definitionsmenge untersuchen und benutzen Sie, dass \(Zählergrad < Nennergrad\) gilt.

2.2

Bilden Sie die 1. Ableitung der Funktion \(f\) mit Hilfe der Quotientenregel.
Lösen Sie die Gleichung \(f^\prime(x)=0\).
Untersuchen Sie das Vorzeichen der Funktion \(f^\prime\) in der Umgebung ihrer Nullstelle.

2.3

Erstellen Sie eine Wertetabelle.

2.4

Berücksichtigen Sie, dass die Fläche unterhalb der x-Achse liegt.
Formen Sie den Bruchterm in zwei Bruchterme um, bevor Sie die Integration ausführen.

2.5

Lösen Sie die Gleichung \(f(x)=y\) nach \(x\) auf.
Verwenden Sie die Lösungsformel für quadratische Gleichungen.
Bestimmen Sie durch die Punktprobe mit einem geeigneten Punkt auf dem Graphen von \(f\) das richtige Vorzeichen.

2.6.1

Verwenden Sie für die Bestimmung der Definitionsmenge die Zeichnung aus Teilaufgabe 2.3
Lösen Sie die Gleichung \(g(x)=0\), indem Sie die e-Funktion auf beiden Seiten der Gleichung anwenden.

2.6.2

Entscheiden Sie, ob die Gleichung \(g(x)=1\) lösbar ist.
Oder: Überprüfen Sie die Behauptung, in dem Sie das absolute Maximum der Funktion \(g\) bestimmen.

3

Ermitteln Sie zuerst eine allgemeine Lösung der Differenzialgleichung.
Verwenden Sie die Anfangsbedingung.

1.1

Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte für \(x\overset{<}{\rightarrow}0\) und \(x\overset{>}{\rightarrow}0\).

 

1.2

Bilden Sie die Ableitungsfunktion mithilfe der Kettenregel und ermitteln Sie die Lösungen der Gleichung \(f^\prime(x)=0\).
Achten Sie auf die Definitionsmenge und untersuchen Sie das Vorzeichen von \(f^\prime\) z. B. mithilfe einer Vorzeichentabelle.

 

1.3

Die schiefe Asymptote ist eine Gerade, deren Steigung und y-Achsenabschnitt zu bestimmen sind.

Die Steigung der schiefen Asymptote ist der Grenzwert von \(f^\prime\) für \(x\rightarrow\pm\infty\).

Folgern Sie aus dem Verhalten des Summanden \(arctan\left(1+\frac{1}{x}\right)\) für \(x\rightarrow\pm\infty\) den y-Achsenabschnitt der schiefen Asymptote.
Erstellen Sie eine Wertetabelle.

 

1.4

Argumentieren Sie mit Vorzeichen der Funktionswerte von \(f\) sowie dem Monotonieverhalten der Funktion \(f\).

 

2

Das Volumen der Vogeltränke entspricht dem Volumen eines Zylinders abzüglich des Volumens eines Rotationskörpers.

Bilden Sie ein Integral, um ein Rotationsvolumen zu berechnen, und wenden Sie die partielle Integration an.

 

3.1

Ermitteln Sie zuerst eine allgemeine Lösung der Differenzialgleichung.
Verwenden Sie die Anfangsbedingung.

 

3.2

Nutzen Sie bei der Integration eine Formel aus der Merkhilfe.

 

3.3

Lösen Sie das Ergebnis aus Aufgabe 3.1 nach t auf.

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