2025 - Teil ohne Hilfsmittel

1.

Nutzen Sie die Beziehung \(\sqrt{x}=x^{0,5}\).

2.1

Untersuchen sie das Vorzeichen des Arguments der ln-Funktion.

Bestimmen Sie dazu die Nullstellen des Zählers und des Nenners.

2.2

Nutzen Sie die Beziehung \(ln(1)=0\).

2.3.1

Bilden Sie die 1. Ableitung der Funktion \(h\) unter Verwendung der  Quotientenregel.

Untersuchen Sie das Vorzeichen der Ableitungsfunktion \(h^/\) .

Argumentieren Sie mithilfe der Monotonie der Funktion \(h\) .

2.3.2

Bilden Sie geeignete Funktionswerte an der Stelle \(x=1\) .

3.

Es gilt: \(arctan(g(x))=0 \enspace\Leftrightarrow \enspace g(x)=0\).

Beachten Sie die Definitionsmenge \(D_g\).

Bilden Sie die 1. Ableitung der Funktion \(g\) unter Verwendung der  Kettenenregel.

Untersuchen Sie das Monotonieverhalten der Funktion \(g\).

1.1

Berücksichtigen Sie den kompletten Pfad in diesem Baumdiagramm, der zur angegebenen Wahrscheinlichkeit führt.

1.2

Für das angegebene Ereignis gilt in Mengenschreibweise: \(N \cup R\)

1.3

Prüfen Sie, ob gilt: \(P(R) \cdot P(N)=P(R \cap N)\)

2.1

Nutzen Sie die Beziehung: \(P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=P(X \leq 3)\).
Verwenden Sie die Normierungseigenschaft der Wahrscheinlichkeitsverteilung.

2.2

Argumentieren Sie mit dem Erwartungswert der Zufallsgröße.

2025 - Teil mit Hilfsmittel

1.1

Berechnen Sie \(f(0)\).
Lösen Sie die Gleichung \(f(x)=0\).

1.2    

Bilden Sie die 1. Ableitung der Funktion \(f\) mithilfe der Quotientenregel.

Untersuchen Sie das Vorzeichen der Ableitungsfunktion z.B. mithilfe einer Vorzeichentabelle.

Berücksichtigen Sie dabei die Grenzen der Definitionsmenge.

1.3.1 

Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte der Funktion \(f\) und schließen Sie damit auf die Funktionswerte der Funktion \(k\).

1.3.2

Bilden Sie die 1. Ableitung der Funktion \(k\) und untersuchen Sie das Monotonieverhalten.

Aussage A: Berücksichtigen Sie Ihre Ergebnisse aus Teilaufgabe 1.3.1

Aussage B: Nutzen Sie das Monotonieverhalten.

2.

Formen Sie zunächst die Differenzialgleichung so um, dass sich die Variablen „Trennen“ lassen.

Nutzen Sie die Formel

\(\int{\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}dx}=ln\bigl| f(x) \bigr|+C\)

3.1

Definitionsmenge:

Nutzen Sie die gegebene Zeichnung

Tangentensteigung:

Bilden Sie die 1. Ableitung der Funktion \(j(x)\).

Entnehmen Sie der Zeichnung die Steigung der eingezeichneten Tangente.

3.2

Nutzen Sie den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung.

Entnehmen Sie der Zeichnung die Lösung \(x_W\) der Gleichung \(H^{\prime\prime}(x)=0\)

Nutzen Sie die Methode „Kästchen zählen“ um \(y_W\) zu bestimmen.

4.1

Nutzen Sie für die Berechnung der Höhe der Rechtecke den Funktionswert an der linken

Seite des Rechtecks.

4.2.1

Verwenden Sie die partielle Integration zweimal hintereinander.

4.2.2

Nutzen Sie die Formel \(V=\pi\cdot\int\limits_{y_1}^{y_2}{(f^{-1}(x))^2}dx\).

1.1

Untersuchen Sie das Verhalten der Zähler- und der Nennerfunktion und folgern Sie den gesuchten Grenzwert.

1.2

Nutzen Sie die gegebene Substitution und lösen Sie eine quadratische Gleichung.

Untersuchen Sie das das Vorzeichen der Funktion \(f^{/prime}\) z. Bsp. mithilfe einer Vorzeichentabelle.

1.3

Nutzen Sie den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung.

1.4

Führen Sie eine Integration nach der „Substitutionsmethode“ durch.

Nutzen Sie die Polynomdivision.

Nutzen Sie die Formel \(\int{\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}dx}=ln\bigl| f(x) \bigr|+C\)

2.1

Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte von \(g\) für \(x\to\infty\).

Nutzen Sie die Winkelhalbierende als Symmetrieachse.

2.2

Lösen Sie die Gleichung \(y=g(x)\) nach \(x^2\) auf.

Berücksichtigen Sie die Definitionsmenge der Funktion g.

2.3

Nutzen Sie die Polynomdivision

Verwenden Sie die Formel \(\int{\frac{1}{a^2+x^2}dx}=\frac{1}{a}\cdot arctan(\frac{x}{a})+C\)

3.

Nutzen Sie die Partialbruchzerlegung.

Verwenden Sie die Formel \(\int{\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}dx}=ln\bigl| f(x) \bigr|+C\)

1.1

Entscheiden Sie, welche Kettenlänge und Trefferwahrscheinlichkeit die jeweiligen Ereignisse dieses Zufallsexperiments besitzen.

1.2

Entscheiden Sie, wie viele Möglichkeiten es gibt, bei zehn Ziehungen die drei Gewinnlose direkt nacheinander zu ziehen.

1.3

Es handelt sich um eine 3x „mindestens“-Aufgabe.
Nutzen Sie den Ansatz: \(P^{n}_{0,2}(X \geq 1) \geq 0,95\)
Lösen Sie die Gleichung durch geeignete Umformungen nach der Kettenlänge n auf.

1.4

Führen Sie einen rechtsseitigen Signifikanztest auf dem 5%-Niveau durch.

2.1

Zeichnen Sie ein Baumdiagramm für ein 5-stufiges Zufallsexperiment und berücksichtigen Sie dabei das jeweilige Ende der Ziehung/Pfades.

2.2

Nutzen Sie Ihre Ergebnisse aus Teilaufgabe 2.1 für die Erstellung der tabellarischen Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Argumentieren Sie mithilfe des Erwartungswertes der Zufallsgröße.

1.

Tragen Sie die gegebenen Wahrscheinlichkeiten \(P(H)\) und \(P(S)\)  in die Vierfeldertafel ein.
Beachten Sie, dass gilt: \(P(S \cap H) \neq 0,34\) 
Berechnen Sie die restlichen Wahrscheinlichkeiten (in der Vierfeldertafel) mithilfe der Zeilensummen und Spaltensummen.

2.

Entscheiden Sie, welche Kettenlänge und Trefferwahrscheinlichkeit die jeweiligen Ereignisse dieses Zufallsexperiments besitzen.

3.

Führen Sie einen linksseitigen Signifikanztest auf dem 5%-Niveau durch.

4.1

Zeichnen Sie ein Baumdiagramm für ein 3-stufiges Zufallsexperiment und berücksichtigen Sie bei den jeweiligen Pfadwahrscheinlichkeiten die Informationen in der Angabe.

4.2

Nutzen Sie Ihre Ergebnisse aus Teilaufgabe 4.1 für die Erstellung der tabellarischen Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Berechnen Sie den Erwartungswert der Zufallsgröße und berücksichtigen Sie die Anzahl der Hunde, die pro Woche den Hundesalon besuchen.