2022 - Teil ohne Hilfsmittel

1.1

Die gesuchten Asymptoten liegen bei den Definitionslücken der maximalen Definitionsmenge.

 

1.2

Bilden Sie die Ableitungsfunktion mithilfe der Quotientenregel.
Untersuchen Sie das Monotonieverhalten der Funktion \(f\).
Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte an den Rändern der Definitionsmenge.
Folgern Sie mithilfe Ihrer Ergebnisse die Wertemenge der Funktion \(f\).

 

1.3

Nutzen Sie die Beziehung \(\int\frac{g^\prime(x)}{g(x)}dx=ln|g(x)|+C\)

 

1.4

Lösen Sie die Ungleichung \(f(x)>0\) z. B. mithilfe einer Vorzeichentabelle.

Nutzen Sie die Beziehung \(ln(1)=0\) und beachten Sie die Definitionsmenge \(G_g\) der Funktion \(g\).

 

2

Aussage A:
Nutzen Sie den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung (HDI).
Entscheiden Sie, ob ein Vorzeichenwechsel von \(h(x)\)vorliegt.

Aussage B:
Entnehmen Sie der Zeichnung die Steigung \(m=H^\prime(1)\) der Tangente an \(G_H\) im Punkt \(P(1|y_P)\).
Bestimmen Sie die y-Koordinate \(y_P\) des Punktes \(P\) durch Kästchenzählen.
Ermitteln Sie mithilfe von \(m\) und der Koordinaten von \(P\) den y-Achsenabschnitt \(t\) der Tangente mit der Gleichung \(y=mx+t\).

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2022 - Teil mit Hilfsmittel

1.1

Es gilt: \(arctan(g(x))=0 \enspace\Leftrightarrow \enspace g(x)=0\)

Untersuchen Sie die Grenzwerte \(\lim \limits_{x \to \pm\infty}f(x)\), \(\lim \limits_{x\overset{<}{\rightarrow}0}f(x)\) und \(\lim \limits_{x\overset{>}{\rightarrow}0}f(x)\)

1.2

Bilden Sie die Ableitungsfunktion mithilfe der Ketten- und Quotientenregel.
Untersuchen Sie das Vorzeichen von \(f^\prime\) und berücksichtigen Sie die Grenzwerte aus Teilaufgabe 1.1

1.3

Bilden Sie die 2. Ableitung mithilfe der Quotientenregel und ermitteln Sie die Lösung der Gleichung \(f^{\prime\prime}(x)=0\).
Untersuchen Sie das Vorzeichen von \(f^{\prime\prime}(x)\) z. B. mithilfe einer Vorzeichentabelle.

2.1

Bilden Sie die Ableitungsfunktion mithilfe der Quotientenregel.
Untersuchen Sie das Vorzeichen von \(u^\prime(x)\).

2.2

Lösen Sie die Gleichung \(y=u(x)\) nach x auf.

3.1

Bestimmen Sie zunächst die maximale Definitionsmenge der Funktion \(h\).
Als Definitionsmenge von Integralfunktionen kommen nur Intervalle („zusammenhängende Bereiche“) infrage.
Nutzen Sie den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung (HDI) und untersuchen Sie das Vorzeichen von \(h(x)\).

3.2

Fassen Sie den gegebenen Term zusammen.

Führen Sie eine Partialbruchzerlegung durch.

4

Bilden Sie die Ableitungsfunktion mithilfe der Kettenregel.

Nutzen Sie die Differenzialgleichung, um zu zeigen, dass die gegebene Funktion eine allgemeine Lösung ist.

Verwenden Sie die Anfangsbedingung zum Zeitpunkt \(t=0\).

1.1

Ist \(f(x)=ln(g(x))\), so muss gelten: \(g(x)>0\) 
Für die Nullstellen der Funktion f muss gelten: \(g(x)=1\)  

 

1.2

Untersuchen Sie die Grenzwerte \(\lim \limits_{x \to \pm\infty}f(x)\), \(\lim \limits_{x\overset{<}{\rightarrow}1}f(x)\) und \(\lim \limits_{x\overset{>}{\rightarrow}1}f(x)\).

 

1.3

Bilden Sie die Ableitungsfunktion mithilfe der Ketten- und Quotientenregel und ermitteln Sie die Lösung der Gleichung \(f^\prime(x)=0\)  .
Achten Sie auf die Definitionsmenge und untersuchen Sie das Vorzeichen von \(f^\prime(x)\)   z. B. mithilfe einer Vorzeichentabelle.

 

2.1

Nutzen Sie den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung (HDI) und untersuchen Sie das Vorzeichen von \(h^\prime(x)\).

 

2.2

Beginnen Sie mit der Substitution \(z=5t-1\) und verwenden Sie anschließend eine Formel aus der Merkhilfe.

 

3.1

Aussage A: Bilden Sie die Ableitungsfunktion mithilfe der Quotientenregel und untersuchen Sie das Vorzeichen von \(g^\prime(x)\). Achten Sie dabei auch auf die Definitionsmenge.

Aussage B: Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte von \(g\) für \(x\rightarrow 0\).

 

3.2

Bestimmen Sie die fehlende Koordinate von \(P^*\).

Verwenden Sie die Umkehrregel \((g^{-1})^\prime (y_0)=\frac {1}{g^\prime(x_0)}\), wobei \(P^*(y_0|x_0)\in G_{g^{-1}}\).

 

4

Bilden Sie die Ableitungsfunktion mithilfe der Quotienten und Kettenregel.

Nutzen Sie die Differenzialgleichung, um zu zeigen, dass die gegebene Funktion eine spezielle Lösung ist.

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