§ 24 Verhalten gebrochenrationaler Funktionen im Unendlichen
Interaktive Übungen
Senkrechte Asymptoten
Der Graph einer gebrochenrationalen Funktion f mit D_{f}=\mathbb{R}\setminus\{k\} hat genau dann eine senkrechte Asymptote mit der Gleichung x=k, wenn x=k eine Polstelle der Funktion f ist.
Beispiel:
Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=\frac{x+2}{x-5} und der Definitionsmenge D_{f}=\mathbb{R}\setminus\{5\}. Da nun z(5)=5+2=7\neq 0 (man setzt dabei die 5 in den Zählerterm ein!), ist x=5 eine Polstelle von f. Der Graph der Funktion f hat somit eine senkrechte Asymptote mit der Gleichung x=5.
Beispiel:
Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=\frac{x+2}{x-5} und der Definitionsmenge D_{f}=\mathbb{R}\setminus\{5\}. Da nun z(5)=5+2=7\neq 0 (man setzt dabei die 5 in den Zählerterm ein!), ist x=5 eine Polstelle von f. Der Graph der Funktion f hat somit eine senkrechte Asymptote mit der Gleichung x=5.
Übung 1: Senkrechte Asymptoten
Waagrechte und schiefe Asymptoten
Ist eine gebrochenrationale Funktion f von der Form f(x)=\frac{z(x)}{n(x)}, dann gilt:
- ist ZG<NG (Zählergrad kleiner Nennergrad), dann hat der Graph der Funktion f eine waagrechte Asymptote mit der Gleichung y=0
- ist ZG=NG (Zählergrad gleich Nennergrad), dann hat der Graph der Funktion f eine waagrechte Asymptote mit der Gleichung y=k mit k\in\mathbb{R}\setminus\{0\}.
Dabei gilt: k=\frac{Leitkoeffizient\:des\:Zählers}{Leitkoeffizient\:des\:Nenners}
- ist ZG>NG (ZG=NG+1) , dann hat der Graph der Funktion f eine schiefe Asymptote. Um die Gleichung dieser Asymptote zu erhalten, muss eine Polynomdivision durchgeführt werden.