§ 23 Gebrochenrationale Funktionen und ihre Definitionsmenge
Interaktive Übungen
Definitionsmenge gebrochenrationaler Funktionen
Beispiel:
Bestimmen Sie die Definitionsmenge der Funktion f mit f(x)=\frac{x-2}{x+1}. Man bestimmt die Nullstelle(n) der Nennerfunktion: \begin{equation} \begin{aligned} n(x)&=0 \\ x+1&=0 \\ x_1&=-1 \\ \end{aligned} \end{equation} Diesen Wert schließt man nun aus der Menge der reellen Zahlen \mathbb{R} aus. Somit folgt für die Defintionsmenge: D_{f}=\mathbb{R}\setminus\{-1\}
Übung 1: Definitionsmenge gebrochenrationaler Funktionen
Nullstellen gebrochenrationaler Funktionen
Die Nullstelle einer gebrochenrationale Funktion f mit f(x)=\frac{z(x)}{n(x)} ist Nullstelle der Zählerfunktion z(x), die in der Definitionsmenge der Funktion f enthalten ist.
Beispiel:
Bestimmen Sie die Nullstelle der Funktion f mit f(x)=\frac{x^2-1}{(x-1)^2} und der Definitionsmenge D_{f}=\mathbb{R}\setminus\{1\}.
Man bestimmt zunächst die Nullstellen der Zählerfunktion:
\begin{equation} \begin{aligned} z(x)&=0 \\ x^2-1&=0 \\ x^2&=1 \\ x_{1;2} &=\pm 1 \\ \end{aligned} \end{equation}
Nun überprüft man, ob diese Werte auch in der Definitionsmenge der Funktion f liegen:
x_1=-1 \in D_{f} \: \Rightarrow \:x_1=-1 ist eine Nullstelle von f.
x_2=1 \notin D_{f} \: \Rightarrow \:x_2=1 ist keine Nullstelle von f.
Übung 2: Nullstellen gebrochenrationaler Funktionen
Art der Definitionslücke
Eine gebrochenrationale Funktion f mit f(x)=\frac{z(x)}{n(x)} und der Definitinsmenge D_{f}=\mathbb{R}\setminus\{x_o\} hat an der Stelle x_0 eine Definitionslücke. Diese Definitinslücke kann dann:
- Polstelle oder
- eine stetig behebbare Definitionslücke sein.
x_0 ist Polstelle, wenn:
z(x_0) \neq 0. Also x_0 keine Nullstelle des Zähler ist.
z(x_0) = 0 und die Vielfachheit der Nennernullstelle x_0 größer ist als die Vielfachheit der Zählernullstelle x_0 .
x_0 ist stetig behebbare Definitionslücke, wenn:
z(x_0) = 0 und die Vielfachheit der Nennernullstelle x_0 kleiner oder gleich der Vielfachheit der Zählernullstelle x_0 ist.
Beispiel:
Geben Sie die Art der Definitionslücken der Funktion f mit f(x)=\frac{(x-2)(x-3)(x-4)^2}{(x-1)(x-2)^2(x-3)(x-4)} und der Definitionsmenge D_{f}=\mathbb{R}\setminus\{1;2;3;4\} an.
x_1=1 ist Nennernullstelle, aber keine Zählernullstelle, somit ist x_1=1 eine Polstelle.
x_2=2 ist Nennernullstelle und Zählernullstelle. Da ihre Vielfachheit als Nennernullstelle größer ist als die Vielfachheit als Zählernullstelle, ist x_2=2 eine Polstelle.
x_3=3 ist Nennernullstelle und Zählernullstelle. Da ihre Vielfachheit als Nennernullstelle gleich der Vielfachheit der Zählernullstelle ist, ist x_3=3 eine stetig behebbare Definitionslücke.
x_4=4 ist Nennernullstelle und Zählernullstelle. Da ihre Vielfachheit als Nennernullstelle kleiner ist als die Vielfachheit als Zählernullstelle, ist x_4=4 eine stetig behebbare Definitionslücke.
Eine gebrochenrationale Funktion f mit f(x)=\frac{z(x)}{n(x)} und der Definitionsmenge D_{f}=\mathbb{R}\setminus\{x_o\} hat an der Stelle x_0 eine Definitionslücke. Diese Definitinslücke kann dann:
- Polstelle oder
- eine stetig behebbare Definitionslücke sein.
Vorgehensweise um die Art der Definitionslücke zu bestimmen:
Man setzt die Definitionslücke x_0 zunächst in den Zählerterm ein.
Ist z(x_0) \neq 0, so ist x_0 eine Polstelle. Die Vielfachheit der Nennernullstelle x_0 nennt man dabei die Ordnung der Polstelle.
Ist allerdings z(x_0) = 0, dann stellt man am besten den Zählerterm und den Nennerterm in Linearfaktorform dar und kürzt gemeinsame Linearfaktoren des Zähler mit gemeinsamen Linearfaktoren des Nenners.
Kürzt sich dabei der Linearfaktor (x-x_0) im Nenner nicht vollständig heraus, so liegt eine Polstelle an der Stelle x_0 vor. Die verbleibende Vielfachheit gibt dabei die Ordnung der Polstelle an.
Kürzt sich der Linearfaktor (x-x_0) im Nenner dagegen vollständig heraus, so liegt eine stetig behabbare Definitionslülcke vor.
Beispiel:
Geben Sie die Art der Definitionslücken der Funktion f mit f(x)=\frac{x^2+x}{x^2-2x-3} und der Definitionsmenge D_{f} an.
Nennernullstellen:
\begin{equation} \begin{aligned} n(x)&=0 \\ x^2-2x-3&=0 \\ MNF: \: x_1&=-1 \: ; \: x_2=3\\ \end{aligned} \end{equation}
Somit gilt: D_{f}=\mathbb{R}\setminus\{-1;\: 3\}
Zählernullstellen:
\begin{equation} \begin{aligned} z(x)&=0 \\ x^2+x&=0 \\ x(x+1)&=0 \\ x_1&=0 \: ; \: x_2=-1\\ \end{aligned} \end{equation}
Linearfaktorzerlegung: f(x)=\frac{x^2+x}{x^2-2x-3}=\frac{x(x+1)}{(x+1)(x-3)} \stackrel{!}{=} \frac{x}{x-3} mit D_{f}=\mathbb{R}\setminus\{-1;\: 3\}
Da sich der Term (x-3) im Nenner nicht wegkürzt, ist die Definitionslücke x_2=3 eine Polstelle 1. Ordnung.
Da sich der Term (x+1) im Nenner vollständig wegkürzt, ist die Definitionslücke x_1=-1 eine stetig behebbare Definitionslücke.
Ergänzung:
Die Funktion \stackrel{-}{f}(x)=\frac{x}{x-3} (gekürzter Term!) nennt man dann eine stetige Fortsetzung von f. Diese hat dann die Definitionsmenge D_{\stackrel{-}{f}}=\mathbb{R}\setminus\{3\}